Bài toán cố định

THI247.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Bài toán cố định, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.

Nội dung bài viết Bài toán cố định:
a) Chứng minh một đường thẳng qua một điểm cố định: Trong không gian muốn chứng minh một đường thẳng a luôn qua một điểm cố định M, đầu tiên ta dự đoán điểm cố định, sau đó ta chuyển về bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng. Thông thường ta tìm 2 mặt phẳng sao cho chúng có giao tuyến a và điểm M cũng nằm trên 2 mặt này. Tìm mặt (a) và (b) sao cho M nằm trên a hay a luôn đi qua điểm M cố định.
b) Chứng minh một điểm thuộc đường thẳng cố định: Trong không gian muốn chứng minh một điểm M thuộc một đường thẳng cố định ta chứng minh điểm đó thuộc 2 mặt phẳng cố định, khi đó M nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
BÀI TẬP DẠNG 5: Ví dụ 1. Cho mặt phẳng (a) và hai điểm M, N nằm ngoài (a), MN luôn cắt (a). S là một điểm thay đổi trong không gian sao cho SM, SN cắt (a) lần lượt tại A, B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Gọi I là giao điểm của MN và (a) → IE (SMN) n (a). Mà AB = (SMN)n(a). I nằm trên đường thẳng AB. Do MN cố định và (a) cố định nên I cố định. Vậy AB luôn đi qua điểm cố định I.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD, đường thẳng AB cắt đường thẳng CD. Điểm M thay đổi trên SA. Mặt phẳng (CDM) cắt SB tại N. a) Chứng minh MN luôn đi qua điểm cố định. b) Chứng minh giao điểm của AN và (SCD) thuộc đường thẳng cố định. a) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi E là giao điểm của AB và CD. Khi đó (MCD) = (M ED). Mà (CDM) cắt SB tại N + N là giao điểm của ME và SB » M, N, E thẳng hàng hay MN luôn đi qua điểm cố định E. b) Trong mặt phẳng (SAE) gọi I = ANOSE. Mà SE là cố định I luôn nằm đường thẳng cố định qua SE.
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại 0 và một đường thẳng A không qua O sao cho dị và A chéo nhau, da và A chéo nhau. Điểm M thay đổi trên A. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng (M, d1) và (M, d) thuộc một mặt phẳng cố định. Ví dụ 4. Cho hai mặt phẳng (a) và (b) cắt nhau theo giao tuyến m. Đường thẳng A cắt (0) tại A, (b) tại B. Trên A lấy hai điểm phân biệt S1, S2 cố định. Điểm M thay đổi trên (b) sao cho M S1, MS) cắt (a) tại M1, M2.
a) Chứng minh MLM, đi qua một điểm cố định. b) Giả sử M cắt m ở K. Chứng minh K, B, M thẳng hàng. c) M thay đổi trên đường thẳng d cố định thuộc (b) (d cắt m và không đi qua B). Chứng minh M1, M2 thuộc những đường thẳng cố định.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Trong mặt phẳng (a) cho hai đường thẳng a, b cố định. Đường thẳng c cố định, không thuộc mặt phẳng (d) và cắt mặt phẳng (a). Mặt phẳng (b) thay đổi, chứa c cắt a và b lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2. Trong mặt phẳng (a) cho hai đường thẳng d1, d2 cắt nhau tại O. A, B là hai điểm cố định nằm ngoài (a) sao cho AB cắt (a). Mặt phẳng (b) chứa AB và luôn cắt d1, d2 tại M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn qua một điểm cố định.

Tài liệu liên quan