Bài toán liên quan đến phương trình sóng

THI247.com giới thiệu bài viết hướng dẫn phương pháp giải các bài toán liên quan đến phương trình sóng trong chủ đề hiện tượng sóng cơ học.

1. Phương trình sóng
Giả sử sóng truyền từ điểm $M$ đến điểm $N$ cách nhau một khoảng $d$ trên cùng một phương truyền sóng.
Nếu phương trình dao động tại $M:$ ${u_M} = {a_M}\cos (\omega t + \varphi )$ thì phương trình sóng tại $N$ sẽ là ${u_N} = {a_N}\cos \left( {\omega t + \varphi – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right).$
Dao động tại $N$ trễ hơn dao động tại $M$ là $\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi d}}{{vT}}$ $ = \frac{{2\pi df}}{v} = \frac{{\omega d}}{v}.$
Khi $M$, $N$ dao động cùng pha $\Delta \varphi = k2\pi $ $(k \in Z)$, ta tính được $\lambda,v,T,f$ theo $k.$
Khi $M$, $N$ dao động ngược pha $\Delta \varphi = (2k + 1)\pi $ $(k \in Z)$, ta tính được $\lambda ,v,T,f$ theo $k.$
Khi $M$, $N$ dao động vuông pha $\Delta \varphi = (2k + 1)\frac{\pi }{2}$ $(k \in Z)$, ta tính được $\lambda ,v,T,f$ theo $k.$
Để xác định giá trị nguyên $k$ ta phải căn cứ vào điều kiện ràng buộc: ${\lambda _1} \le \lambda \le {\lambda _2}$, ${v_1} \le v \le {v_2}$, ${T_1} \le T \le {T_2}$, ${f_1} \le f \le {f_2}.$

Ví dụ 1. Một nguồn phát sóng cơ dao động theo phương trình $u = 4\cos \left( {4\pi t – \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm). Biết dao động tại hai điểm gần nhau nhất trên cùng một phương truyền sóng cách nhau $0,5$ m có độ lệch pha là $\frac{\pi }{3}$. Tốc độ truyền của sóng đó là?

Hai điểm trên phương truyền sóng cách nhau một khoảng $d$ thì dao động lệch pha nhau: $\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi df}}{v} = \frac{{\omega d}}{v}$ hay $\frac{\pi }{3} = \frac{{4\pi .0,5}}{v} \Rightarrow v = 6$ (m).

Ví dụ 2. Một sóng hình sin truyền theo phương $Ox$ từ nguồn $O$ với tần số $20$ Hz, có tốc độ truyền sóng nằm trong khoảng từ $0,7$ m/s đến $1$ m/s. Gọi $A$ và $B$ là hai điểm nằm trên $Ox$, ở cùng một phía so với $O$ và cách nhau $10$ cm. Hai phần tử môi trường tại $A$ và $B$ luôn dao động ngược pha với nhau. Tốc độ truyền sóng là?

$\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda }$ $ = \frac{{2\pi df}}{v} = (2k + 1)\pi $ $ \Rightarrow v = \frac{4}{{(2k + 1)}}$ (m/s). Thay vào điều kiện $0,7$ m/s $ < v < $ $1$ m/s $ \Rightarrow 1,5 \le k \le 2,35$ $ \Rightarrow k = 2$ $ \Rightarrow v = 0,8$ (m/s).

Ví dụ 3. Sóng cơ truyền trên một sợi dây đàn hồi rất dài với tốc độ là $4$ m/s. Hai điểm trên dây cách nhau $40$ cm, người ta thấy chúng luôn luôn dao động vuông pha. Biết tần số $f$ có giá trị trong khoảng từ $8$ Hz đến $13$ Hz. Tính tần số.

$\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda }$ $ = \frac{{2\pi df}}{v} = (2k + 1)\frac{\pi }{2}$ $ \Rightarrow f = 5k + 2,5.$ Thay vào điều kiện: $8$ Hz $ \le {\rm{v}} \le $ $13$ Hz $ \Rightarrow 1,1 \le k \le 2,1$ $ \Rightarrow k = 2$ $ \Rightarrow f = 12,5$ (Hz).

Ví dụ 4. Một nguồn $O$ phát sóng cơ dao động theo phương trình ${u_0} = 2\cos \left( {20\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (trong đó $u$ tính bằng đơn vị mm, $t$ tính bằng đơn vị s). Xét sóng truyền theo một đường thẳng từ $O$ đến điểm $M$ ($M$ cách $O$ một khoảng $45$ cm) với tốc độ không đổi $1$ m/s. Trong khoảng từ $O$ đến $M$ có bao nhiêu điểm dao động cùng pha với dao động tại nguồn $O$?

$\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi d}}{{vT}}$ $ = \frac{{2\pi df}}{v} = \frac{{\omega d}}{v} = k2\pi $ $ \Rightarrow d = k\frac{{2\pi v}}{\omega }$ $ = k\frac{{2\pi .1}}{{20\pi }} = 0,1.k$ (m). Thay vào điều kiện $0 < d < 0,45$ m $ \Rightarrow 0 < k \le 4,5$ $ \Rightarrow k = 1;2;3;4$, suy ra có $4$ giá trị.

Chú ý:
1) Để tìm số điểm dao động cùng pha với nguồn $O$ trên đoạn $MN$ ta làm như sau:
+ Từ $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $MN$ cắt $MN$ tại $H.$
+ Vẽ các đường tròn tâm $O$, bán kính bằng một số nguyên lần $λ$ đồng thời bán kính phải lớn hơn hoặc bằng $OH.$ Số điểm cần tìm chính là số giao điểm của các đường tròn nói trên.

bai-toan-lien-quan-den-phuong-trinh-song-1

2) Tương tự như trên để tìm số điểm dao động ngược pha (vuông pha) ta vẽ các đường tròn bán kính bằng một số lẻ lần $λ/2$ (một số lẻ lần $λ/4$).

Ví dụ 5. Trên mặt thoáng của một chất lỏng, một mũi nhọn $O$ chạm vào mặt thoáng dao động điều hòa với tần số $f$, tạo thành sóng trên mặt thoáng với bước sóng $λ$. Xét hai phương truyền sóng $Ox$ và $Oy$ vuông góc với nhau. Gọi $A$ là điểm thuộc $Ox$ cách $A$ một đoạn $16λ$ và $B$ thuộc $Oy$ cách $O$ là $12λ$. Tính số điểm dao động cùng pha với nguồn $O$ trên đoạn $AB.$

Kẻ $OH \bot AB$, từ hệ thức $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}$ tính được $OH = 9,6\lambda .$

bai-toan-lien-quan-den-phuong-trinh-song-2

Các điểm dao động cùng pha với $O$ cách $O$ một số nguyên lần $λ$. Ta vẽ các vòng tròn tâm $O$ bán kính một số nguyên lần $λ$. Để các vòng tròn này cắt $AB$ thì bán kính bắt đầu từ $10\lambda,11\lambda,12\lambda,$ $13\lambda,14\lambda,15\lambda,16\lambda.$
Các đường tròn bán kính $10\lambda,11\lambda,12\lambda $ cắt đoạn $AB$ tại $2$ điểm còn các đường tròn bán kính $13\lambda,14\lambda,15\lambda $ và $16\lambda $ chỉ cắt đoạn $AB$ tại $1$ điểm. Nên tổng số điểm dao động cùng pha với $O$ trên $AB$ là $3.2 + 4 = 10$ điểm.

Ví dụ 6. Sóng truyền với tốc độ $6$ m/s từ điểm $O$ đến điểm $M$ nằm trên cùng một phương truyền sóng cách nhau $3,4$ m. Coi biên độ sóng không đổi. Viết phương trình sống tại $M$, biết phương trình sóng tại điểm $O$ là: $u = 5\cos \left( {5\pi t + \frac{\pi }{6}} \right).$

Dao động tại $M$ trễ pha hơn dao động tại $O$ là: $\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi d}}{{vT}}$ $ = \frac{{\omega d}}{v} = \frac{{5\pi .3.4}}{6} = \frac{{17\pi }}{6}.$
$ \Rightarrow {u_M} = 5\cos \left( {5\pi t + \frac{\pi }{6} – \frac{{17\pi }}{6}} \right)$ $ = 5\cos \left( {5\pi t – \frac{{8\pi }}{3}} \right)$ (cm).

Ví dụ 7. Tạo sóng ngang trên một dây đàn hồi $Ox$. Một điểm $M$ cách nguồn phát sóng $O$ một khoảng $d = 50$ cm có phương trình dao động ${u_M} = 2\cos 0,5\pi \left( {t – \frac{1}{{20}}} \right)$ (cm), tốc độ truyền sóng trên dây là $10$ m/s. Phương trình dao động của nguồn $O$ là?

Dao động tại $O$ sớm pha hơn dao động tại $M$ là: $\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi d}}{{vT}}$ $ = \frac{{\omega d}}{v} = \frac{{0,5\pi .0,5}}{{10}} = \frac{\pi }{{40}}.$
$ \Rightarrow u = 2\cos \left( {\frac{\pi }{2}t – \frac{\pi }{{40}} + \frac{\pi }{{40}}} \right)$ $ = 2\cos \frac{{\pi t}}{2}$ (cm).

Ví dụ 8. Sóng truyền với tốc độ $5$ m/s giữa hai điểm $O$ và $M$ nằm trên cùng một phương truyền sóng. Biết phương trình sóng tại $O$ là $u = 5\cos \left( {5\pi t – \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm) và phương trình sóng tại điểm $M$ là ${u_M} = 5\cos \left( {5\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm). Xác định khoảng cách $OM$ và cho biết chiều truyền sóng.

Dao động tại $M$ sớm hơn tại $O$ là $\Delta \varphi = \frac{\pi }{2}$ nên sóng truyền từ $M$ đến $O$ và $\Delta \varphi = \frac{{\omega d}}{v}$ $ \Rightarrow \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi d}}{5}$ $ \Rightarrow d = 0,5$ (m).

Ví dụ 9. Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng với biên độ không đổi, phương trình sóng tại nguồn $O$ là $u = A\cos \frac{{2\pi t}}{T}$ (cm). Một điểm $M$ cách nguồn $O$ bằng $\frac{7}{6}$ bước sóng ở thời điểm $t = 1,5T$ có li độ $-3$ (cm). Biên độ sóng $A$ là?

Dao động tại $M$ trễ pha hơn dao động tại $O$ là: $\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{7\pi }}{3}.$
$ \Rightarrow {u_M} = A\cos \left( {\frac{{2\pi t}}{T} – \frac{{7\pi }}{3}} \right)$ $ \Rightarrow {u_{M\left( {1,5T} \right)}} = A\cos \left( {\frac{{2\pi }}{T}1,5T – \frac{{7\pi }}{3}} \right) = – 3$ (cm).
$ \Rightarrow A = 6$ (cm).

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tìm li độ tại điểm $M$ ở thời điểm $t_0$ nào đó thì ta phải kiểm tra xem sóng đã truyền tới hay chưa. Nếu ${t_0} < \frac{d}{v}$ thì sóng chưa đến nên ${u_M} = 0$, ngược lại thì sóng đã truyền đến và ta viết phương trình li độ rồi thay $t = {t_0}.$

Ví dụ 10. Một nguồn sóng $O$ trên mặt nước dao động với phương trình ${u_0} = 5\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm) ($t$ đo bằng giây). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước $10$ cm/s, coi biên độ sóng truyền đi không đổi. Tại thời điểm $t = 1,5$ s, điểm $M$ trên mặt nước cách nguồn $20$ cm có li độ là?

Thời gian cần thiết sóng truyền từ $O$ đến $M$: $\Delta l = \frac{d}{v} = \frac{{20}}{{10}} = 2$ (s).
Khi $t = 1,5$ s sóng chưa truyền đến $M$ nên ${u_M} = 0.$

Chú ý: Khi cho biết phương trình sóng $u = a\cos \left( {\omega t \mp \frac{{2\pi }}{\lambda }x} \right)$ $ \Rightarrow \frac{\omega }{{\frac{{2\pi }}{\lambda }}} = \frac{\lambda }{T} = v.$ Tốc độ truyền sóng $=\frac{{{\rm{Hệ\:số\:của\:}}t}}{{{\rm{Hệ\:số\:của\:}}x}}.$

Ví dụ 11. Sóng cơ truyền trong một môi trường dọc theo trục $Ox$ với phương trình $u = \cos (20t – 4x)$ (cm) ($x$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Vận tốc truyền sóng này trong môi trường trên bằng?

Tốc độ truyền sóng $=\frac{{{\rm{Hệ\:số\:của\:}}t}}{{{\rm{Hệ\:số\:của\:}}x}}$ $ = \frac{{20}}{4} = 5$ (m/s).

Chú ý: Nếu phương trình dao động tại nguồn $u = A\cos (\omega t + \beta )$ thì phương trình sóng tại $M$ cách $O$ một khoảng $x$ là $u = A\cos \left( {\omega t + \beta – \frac{{2\pi }}{\lambda }x} \right).$
1) Vận tốc dao động của phần tử vật chất tại điểm $M$ là đạo hàm của li độ theo $t$: $v = u_t^\prime = – \omega A\sin \left( {\omega t + \beta – \frac{{2\pi }}{\lambda }x} \right).$
2) Hệ số góc của tiếp tuyến với đường sin tại điểm $M$ là đạo hàm li độ theo $x$: $\tan \alpha = u_x^{‘}$ $ = \frac{{2\pi }}{\lambda }A\sin \left( {\omega t + \beta – \frac{{2\pi }}{\lambda }x} \right).$

Ví dụ 12. Sóng ngang truyền trên trục $Ox$ với tốc độ $10$ (m/s) theo hướng từ điểm $O$ đến điểm $M$ nằm trên cùng một phương truyền sóng cách nhau $0,5π$ (m). Coi biên độ sóng không đổi. Biết phương trình sống tại điểm $O$: $u = 0,025\cos \left( {10t + \frac{\pi }{6}} \right)$ (m) ($t$ đo bằng giây). Tính vận tốc dao động của phần tử môi trường tại $M$ ở thời điểm $t = 0,05π$ (s). Tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm $M$ ở thời điểm $t = 0,025π$ (s).

Bước sóng: $\lambda = vT = v\frac{{2\pi }}{\omega } = 2\pi $ (m).
Phương trình sóng: $u = 2,5\cos \left( {10t + \frac{\pi }{6} – \frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)$ $ = 2,5\cos \left( {10t + \frac{\pi }{6} – x} \right)$ (cm).
Vận tốc dao động: $v = u_t^\prime = – 10.0,025\sin \left( {10t + \frac{\pi }{6} – x} \right)$ (m/s), thay $t = 0,05\pi $ (s) và $x = 0,5\pi $ (m), suy ra: $v = – 10.0,025\sin \left( {10.0,05\pi + \frac{\pi }{6} – 0,5\pi } \right)$ (m/s) $ = \frac{1}{8}$ (m/s).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$: $\tan \alpha = u_x^\prime = 1.0,025\sin \left( {10t + \frac{\pi }{6} – x} \right)$ (rad), thay $t = 0,05\pi $ (s) và $x = 0,5\pi $ (m), suy ra: $\tan \alpha = 1.0,025\sin \left( {10.0.025\pi + \frac{\pi }{6} – 0,5\pi } \right)$ $ \approx – 6,{47.10^{ – 3}}.$

2. Li độ và vận tốc dao động tại các điểm ở các thời điểm
a) Li độ vận tốc tại cùng một điểm ở hai thời điểm
Cách 1
:
Viết phương trình li độ về dạng $u = A\cos \omega t$ và $v = {u^\prime } = – \omega A\sin \omega t.$
$u = A\cos \omega {t_1} = {u_1}$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ > 0:{\rm{li\:độ\:dương}}}\\
{ < 0:{\rm{li\:độ\:âm}}}
\end{array}} \right.$
$v = {u^\prime } = – \omega A\sin \omega {t_1} = {v_1}$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ > 0: {\rm{đang\:tăng}}}\\
{ < 0: {\rm{đang\:giảm}}}
\end{array}} \right.$
Suy ra $\omega {t_1} = \alpha .$
${u_{\left( {{t_1} + \Delta t} \right)}} = A\cos \omega \left( {{t_1} + \Delta t} \right)$ $ = A\cos \left[ {\omega {t_1} + \omega \Delta t} \right] = ?$
${v_{\left( {{t_1} + \Delta t} \right)}} = – \omega A\sin \omega \left( {{t_1} + \Delta t} \right)$ $ = – \omega A\sin \left[ {\omega {t_1} + \omega \Delta t} \right] = ?$
Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác:
Xác định vị trí đầu trên vòng tròn (xác định $φ$) và chọn mốc thời gian ở trạng thái này.
Xác định pha dao động ở thời điểm tiếp theo $\phi = \omega \Delta t + \varphi .$
Li độ và vận tốc dao động lúc này: $u = A\cos \phi $ và $v = – \omega A\sin \phi .$

Ví dụ 1. Một sóng cơ học được truyền theo phương $Ox$ với biên độ không đổi $2$ cm và tần số góc $π$ (rad/s). Tại thời điểm $t_1$ điểm $M$ có li độ âm và đang chuyển động theo chiều đương với tốc độ $π$ (cm/s) thì li độ tại điểm $M$ sau thời điểm $t_1$ một khoảng $\frac{1}{6}$ (s) là?

$\left. {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 2\cos \pi {t_1} = {u_1} < 0}\\
{v = {u^\prime } = – 2\pi \sin \pi {t_1} = \pi }
\end{array}} \right\}$ $ \Rightarrow \pi {t_1} = \frac{{7\pi }}{6}.$
${u_{\left( {{t_1} + \frac{1}{6}} \right)}}$ $ = 2\cos \left[ {\underbrace {\pi {t_1}}_{\frac{{7\pi }}{6}} + \frac{\pi }{6}} \right] = – 1.$ (cm).

Ví dụ 2. Một sóng cơ học được truyền theo phương $Ox$ với biên độ không đổi. Phương trình dao động tại nguồn $O$ có dạng $u = 4\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{2}} \right)$ (mm) ($t$ đo bằng giây). Tại thời điểm $t_1$ li độ của điểm $O$ là $2\sqrt 3 $ mm và đang giảm. Tính vận tốc dao động tại điểm $O$ sau thời điểm đó một khoảng $3$ (s).

Cách 1: Viết lại phương trình li độ vận tốc:
$u = 4\cos \frac{{\pi t}}{6}$ (cm) và $v = {u^\prime } = – 4.\frac{\pi }{6}\sin \frac{{\pi t}}{6}$ (cm/s).
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 4\cos \frac{{\pi t}}{6} = 2\sqrt 3 }\\
{{u^\prime } = – 4.\frac{\pi }{6}\sin \frac{{\pi t}}{6} < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{6}.$
${v_{(t + 3)}} = – 4.\frac{\pi }{6}\sin \frac{{\pi (t + 3)}}{6}$ $ = – \frac{{2\pi }}{3}\sin \left[ {\underbrace {\frac{{\pi t}}{6}}_{\frac{\pi }{6}} + \frac{\pi }{2}} \right] = – \frac{\pi }{{\sqrt 3 }}$ (cm/s).

Cách 2: Chọn trạng thái tại thời điểm $t_1$ là trạng thái ban đầu $ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}.$
Pha dao động ở thời điểm tiếp theo: $\Phi = \omega \Delta t + \varphi = \frac{\pi }{6}.3 + \frac{\pi }{6} = \frac{{2\pi }}{3}.$
Vận tốc dao động lúc này: $v = – \omega A\sin \Phi $ $ = – \frac{\pi }{6}.4\sin \frac{{2\pi }}{3} = – \frac{\pi }{{\sqrt 3 }}$ (cm/s).

Chú ý:
1) Hai thời điểm cùng pha ${t_2} – {t_1} = nT$ thì ${u_2} = {u_1}$, ${v_2} = {v_1}.$
2) Hai thời điểm ngược pha ${t_2} – {t_1} = (2n + 1)\frac{T}{2}$ thì ${u_2} = – {u_1}$, ${v_2} = – {v_1}.$
3) Hai thời điểm vuông pha ${t_2} – {t_1} = (2n + 1)\frac{T}{4}$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u_1^2 + u_2^2 = {A^2}}\\
{\left| {{v_2}} \right| = \left| {\omega {u_1}} \right|,\left| {{v_1}} \right| = \left| {\omega {u_2}} \right|}
\end{array}} \right.$
Nếu $n$ chẵn thì ${v_2} = – \omega {u_1}$, ${v_1} = \omega {u_2}.$
Nếu $n$ lẻ thì ${v_2} = \omega {u_1}$, ${v_1} = – \omega {u_2}.$

Ví dụ 3. Một sóng cơ học được truyền theo phương $Ox$ với biên độ không đổi. Phương trình dao động tại nguồn $O$ có dạng $u = 6\sin \frac{{\pi t}}{3}$ (cm) ($t$ đo bằng giây). Tại thời điểm $t_1$ li độ của điểm $O$ là $3$ cm. Vận tốc dao động tại $O$ sau thời điểm đó $1,5$ (s) là?

$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = 6$ (s) $ \Rightarrow \frac{T}{4} = 1,5$ (s) $ \Rightarrow {t_2} – {t_1} = (2.0 + 1)\frac{T}{4}$ ($n=0$ chẵn).
$ \Rightarrow {v_2} = – \omega {u_1} = – \frac{\pi }{3}.3 = – \pi $ (cm/s).

b) Li độ và vận tốc tại hai điểm
Li độ ở cùng một thời điểm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_M} = a\cos \omega t}\\
{{u_N} = a\cos \left( {\omega t – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}
\end{array}} \right.$ (giả sử sóng truyền $M$ đến $N$ và $MN = d$).
Vận tốc dao động ở cùng một thời điểm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{v_M} = u_M^\prime = – \omega a\sin \omega t}\\
{{v_N} = u_N^\prime = – \omega a\sin \left( {\omega t – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}
\end{array}} \right.$
Li độ và vận tốc dao động ở cùng một thời điểm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_M} = a\cos \omega t}\\
{{v_M} = u_M^\prime = – \omega a\sin \omega t}
\end{array}} \right.$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_N} = a\cos \left( {\omega t – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}\\
{{v_N} = u_N^\prime = – \omega a\sin \left( {\omega t – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}
\end{array}} \right.$
Li độ và vận tốc dao động ở hai thời điểm $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_M} = a\cos \omega t}\\
{{v_M} = u_M^\prime = – \omega a\sin \omega t}
\end{array}} \right.$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_N} = a\cos \left( {\omega {t^\prime } – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}\\
{{v_N} = u_N^\prime = – \omega a\sin \left( {\omega {t^\prime } – \frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)}
\end{array}} \right.$

Ví dụ 1. Sóng truyền đến điểm $M$ rồi đến điểm $N$ cách nó $15$ cm. Biết biên độ sóng không đổi $2\sqrt 3 $ cm và bước sóng $45$ cm. Nếu tại thời điểm nào đó $M$ có li độ $\sqrt 3 $ cm thì li độ tại $N$ có thể là?

$\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{2\pi .15}}{{45}} = \frac{{2\pi }}{3}$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_M} = 2\sqrt 3 \cos \omega t = \sqrt 3 \Rightarrow \omega t = \pm \frac{\pi }{3}}\\
{{u_N} = 2\sqrt 3 \cos \left( {\underbrace {\omega t}_{ \pm \frac{\pi }{3}} – \frac{{2\pi }}{3}} \right) = – 2\sqrt 3 \cup \sqrt 3 }
\end{array}} \right.$

Ví dụ 2. Một nguồn sóng cơ tại $A$ có phương trình $u = 6\cos 20\pi t$ cm. Tốc độ truyền sóng $80$ cm/s, tại thời điểm $t$ li độ của sóng tại $A$ là $3$ cm và vận tốc dao động có độ lớn đang tăng, khi đó một phần tử sóng tại $B$ cách $A$ là $2$ cm có li độ?

${u_A} = 6\cos 20\pi t \Rightarrow 20\pi t = \frac{\pi }{3}$ và ${u_B} = 6\cos \left( {\underbrace {20\pi t}_{\frac{\pi }{3}} – \frac{\pi }{2}} \right) = 3\sqrt 3 .$

Ví dụ 3. Một sóng cơ học lan truyền theo phương $x$ có bước sóng $λ$, tần số $f$ và có biên độ là $A$ không đổi khi truyền đi. Sóng truyền qua điểm $M$ rồi đến điểm $N$ và hai điểm cách nhau $\frac{{7\lambda }}{3}$. Vào một thời điểm nào đó vận tốc dao động của $M$ là $2\pi fA$ thì tốc độ dao động tại $N$ là?

$\Delta \varphi = \frac{{2\pi d}}{\lambda } = \frac{{14\pi }}{3}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_M} = A\cos \omega t}\\
{{u_N} = A\cos \left( {\omega t – \frac{{14\pi }}{3}} \right)}
\end{array}} \right.$
Suy ra: ${v_M} = u_M^\prime = – \omega A\sin \omega t$ $ = 2\pi fA = \omega A$ $ \Rightarrow \omega t = \frac{{3\pi }}{2}$ và ${v_N} = u_N^\prime = – \omega A\sin \left( {\omega t – \frac{{14\pi }}{3}} \right)$ $ = – \omega A\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} – \frac{{14\pi }}{3}} \right)$ $ = – \frac{{\omega A}}{2} = – \pi fA.$