Kiến thức Toán 12 Cách tính tích phân hàm phân thức hữu tỉ

thi247

Administrator
Thành viên BQT
#1
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ là một trong những dạng tích phân rất quan trọng mà học sinh cần nắm vững, nhiều bài toán tích phân sau quá trình biến đổi cũng đưa về dạng tích phân hàm phân thức hữu tỉ. Dó đó, việc nhuần nhuyễn dạng tích phân này là một đòi hỏi tất yếu đối với học sinh khi học tập Giải tích 12 chương 3. THI247.com giới thiệu các dạng bài tích phân hàm hữu tỉ điển hình và các ví dụ minh họa.

A. DẠNG: I = $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{{\rm{ax + b}}}}dx\left( {a \ne 0} \right)} $
Chú ý đến công thức: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{m}{{{\rm{ax + b}}}}dx} = \frac{m}{a}\ln \left| {{\rm{ax + b}}} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.$
Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoặc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến:
$\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{{\rm{ax + b}}}}dx} $ ${ = \int\limits_\alpha ^\beta {Q(x) + \frac{m}{{{\rm{ax + b}}}}dx} }$ ${ = \int\limits_\alpha ^\beta {Q(x)dx} + m\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{{\rm{ax + b}}}}dx} }$

Ví dụ 1: Tính tích phân: I = $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}dx} $
Giải
Ta có: $f(x) = \frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}$ $ = \frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} - \frac{{27}}{8}\frac{1}{{2x + 3}}$
Do đó:
$\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3}}}{{2x + 3}}dx} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{3}{4}x + \frac{9}{8} - \frac{{27}}{8}\frac{1}{{2x + 3}}} \right)dx} $
$ = \left( {\frac{1}{3}{x^3} - \frac{3}{8}{x^2} + \frac{9}{8}x - \frac{{27}}{{16}}\ln \left| {2x + 3} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array}} \right.$ $ = - \frac{{13}}{6} - \frac{{27}}{{16}}\ln 35$

Ví dụ 2: Tính tích phân: I = $\int\limits_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} - 5}}{{x + 1}}dx} $
Giải
Ta có: f(x) = $\frac{{{x^2} - 5}}{{x + 1}} = x - 1 - \frac{4}{{x + 1}}$
Do đó:
$\int\limits_{\sqrt 5 }^3 {\frac{{{x^2} - 5}}{{x + 1}}dx} $ $ = \int\limits_{\sqrt 5 }^3 {\left( {x - 1 - \frac{4}{{x + 1}}} \right)dx} $
$ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - x - 4\ln \left| {x + 1} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
{\sqrt 5 }
\end{array}} \right.$ $ = \sqrt 5 - 1 + 4\ln \left( {\frac{{\sqrt 5 + 1}}{4}} \right)$
 

thi247

Administrator
Thành viên BQT
#2
B. DẠNG: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c}}dx} $
1. Tam thức: $f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c$ có hai nghiệm phân biệt

Công thức cần lưu ý: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{u'(x)}}{{u(x)}}dx} = \ln \left| {u(x)} \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.$
Ta có hai cách:
Cách 1: (Hệ số bất định)
Cách 2: (Nhẩy tầng lầu)

Ví dụ 3: Tính tích phân: I = $\int\limits_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}dx} $
Giải
Cách 1: (Hệ số bất định)

Ta có: f(x) = $\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = \frac{{4x + 11}}{{(x + 2)(x + 3)}}$ $ = \frac{A}{{x + 2}} + \frac{B}{{x + 3}}$ $ = \frac{{A\left( {x + 3} \right) + B\left( {x + 2} \right)}}{{(x + 2)(x + 3)}}$
Thay x = -2 vào hai tử số: 3 = A và thay x = -3 vào hai tử số: -1 = -B suy ra B = 1
Do đó: f(x) = $\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}$
Vậy: $\int\limits_0^1 {\frac{{4x + 11}}{{{x^2} + 5x + 6}}dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{3}{{x + 2}} + \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} $
$ = \left( {3\ln \left| {x + 2} \right| + \ln \left| {x + 3} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right.$ ${ = 2\ln 3 - \ln 2}$

Cách 2: (Nhẩy tầng lầu)
Ta có: f(x) = $\frac{{2\left( {2x + 5} \right) + 1}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}$ $ = 2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x + 3}}$
Do đó:
I = $\int\limits_0^1 {f(x)dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\left( {2.\frac{{2x + 5}}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x + 3}}} \right)dx} $ ${ = \left( {2\ln \left| {{x^2} + 5x + 6} \right| + \ln \left| {\frac{{x + 2}}{{x + 3}}} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right.}$ ${ = 2\ln 3 - \ln 2}$

2. Tam thức: $f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c$ có hai nghiệm kép
Công thức cần chú ý: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left( {u(x)} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.} $
Thông thường ta đặt (x + b/2a) = t.

Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I = $\int\limits_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} $
Giải
Ta có: $\int\limits_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} = \int\limits_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} $
Đặt: t = x + 1 suy ra: dx = dt; x = t - 1 và: khi x = 0 thì t = 1; khi x = 3 thì t = 4.
Do đó: $\int\limits_0^3 {\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} $ $ = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left( {t - 1} \right)}^3}}}{{{t^2}}}dt} $ $ = \int\limits_1^4 {\left( {t - 3 + \frac{3}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt} $
$ = \left( {\frac{1}{2}{t^2} - 3t + \ln \left| t \right| + \frac{1}{t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
1
\end{array}} \right.$ $ = 2\ln 2 - \frac{3}{2}$

Ví dụ 5: Tính tích phân sau: I = $\int\limits_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} - 4x + 1}}dx} $
Ta có: $\frac{{4x}}{{4{x^2} - 4x + 1}} = \frac{{4x}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$
Đặt t = 2x - 1 suy ra $dt = 2dx \to dx = \frac{1}{2}dt$ và $\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \leftrightarrow t = - 1\\
x = 1 \leftrightarrow t = 1
\end{array} \right.$
Do đó: $\int\limits_0^1 {\frac{{4x}}{{4{x^2} - 4x + 1}}dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\frac{{4x}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}dx} $ $ = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{4.\frac{1}{2}\left( {t + 1} \right)}}{{{t^2}}}\frac{1}{2}dt} $ $ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt} $ $ = \left( {\ln \left| t \right| - \frac{1}{t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
{ - 1}
\end{array} = - 2} \right.$

3. Tam thức: $f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + bx + c$ vô nghiệm
Ta viết: f(x) = $\frac{{P(x)}}{{a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}} \right)}^2}} \right]}}$ $ = \frac{{P(x)}}{{a\left( {{u^2} + {k^2}} \right)}}$; $\left\{ \begin{array}{l}
u = x + \frac{b}{{2a}}\\
k = \frac{{\sqrt { - \Delta } }}{{2a}}
\end{array} \right.$

Ví dụ 6: Tính tích phân: I = $\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}dx} $
Giải
Ta có: $\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 4x + 5}}dx} $ $ = \int\limits_0^2 {\frac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1}}dx} $
Đặt x + 2 = tant, suy ra: dx = $\frac{1}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t}}dt$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \leftrightarrow \tan t = 2\\
x = 2 \leftrightarrow \tan t = 4
\end{array} \right.$
Do đó: $\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} + 1}}dx} $ $ = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\frac{{\tan t - 2}}{{1 + {{\tan }^2}t}}\frac{{dt}}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}t}}} $ $ = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\left( {\frac{{\sin t}}{{c{\rm{ost}}}} - 2} \right)dt} $ $ = \left( { - \ln \left| {c{\rm{ost}}} \right| - 2t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t_2}}\\
{{t_1}}
\end{array}} \right.\left( 1 \right)$
Từ:
$\left[ \begin{array}{l}
\tan t = 2 \to c{\rm{os}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\\
\tan t = 4 \to c{\rm{os}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}
\end{array} \right.$
Vậy: $\left( { - \ln \left| {c{\rm{ost}}} \right| - 2t} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{t_2}}\\
{{t_1}}
\end{array}} \right.$ $ = - \left[ {\left( {\ln \left| {c{\rm{os}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}} \right| - 2{t_2}} \right) - \left( {\ln \left| {\cos {t_1}} \right| - 2{t_1}} \right)} \right]$ $ = - \ln \left| {\frac{{c{\rm{os}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}}}{{{\rm{cos}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}}} \right| + 2\left( {{t_2} - {t_1}} \right)$
$ \Leftrightarrow - \ln \left| {\frac{{c{\rm{os}}{{\rm{t}}_{\rm{2}}}}}{{{\rm{cos}}{{\rm{t}}_{\rm{1}}}}}} \right| + 2\left( {{t_2} - {t_1}} \right)$ $ = 2\left( {{\rm{arctan4 - arctan2}}} \right) - \ln \left| {\frac{1}{{\sqrt {17} }}.\sqrt 5 } \right|$ $ = 2\left( {{\rm{arctan4 - arctan2}}} \right) - \frac{1}{2}\ln \frac{5}{{17}}$

Ví dụ 7: Tính tích phân sau: I = $\int\limits_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}dx} $
Giải
Ta có: $\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}$ $ = x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}$
Do đó: $\int\limits_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 9}}{{{x^2} + 4}}dx} $ $ = \int\limits_0^2 {\left( {x + 2 + \frac{1}{{{x^2} + 4}}} \right)dx} $ $ = \left( {\frac{1}{2}{x^2} + 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
0
\end{array} + \int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 4}}} } \right.$ $ = 6 + J$
Tính tích phân J = $\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}dx} $
Đặt: x = 2tant suy ra: dx = $\frac{2}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t}}dt$
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 0\\
x = 2 \to t = \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.$ $ \leftrightarrow t \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right] \to c{\rm{ost > 0}}$
Khi đó:
$\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + 4}}dx} $ $ = \frac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}t}}\frac{2}{{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}t}}dt} $ $ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dt} = \frac{1}{2}t\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{\pi }{4}}\\
0
\end{array} = \frac{\pi }{8}} \right.$
Thay vào (1): $I = 6 + \frac{\pi }{8}$
 

thi247

Administrator
Thành viên BQT
#3
C. DẠNG: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{{P(x)}}{{{\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + b{x^2} + cx + d}}dx} $
1. Đa thức: f(x) = ${\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + b{x^2} + cx + d\;\left( {a \ne 0} \right)$ có một nghiệm bội ba

Công thức cần chú ý: $\int\limits_\alpha ^\beta {\frac{1}{{{x^m}}}dx} = \frac{1}{{1 - m}}.\frac{1}{{{x^{m - 1}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\beta \\
\alpha
\end{array}} \right.$

Ví dụ 8: Tính tích phân: I = $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} $
Giải
Cách 1:

Đặt: x + 1 = t, suy ra x = t - 1 và: khi x = 0 thì t = 1; khi x = 1 thì t = 2
Do đó: $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{t - 1}}{{{t^3}}}dt} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{{{t^3}}}} \right)dt} $ $ = \left( { - \frac{1}{t} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array} = \frac{1}{8}} \right.$
Cách 2:
Ta có: $\frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right) - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$ $ = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$
Do đó: $\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} $ $ = \int\limits_0^1 {\left[ {\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}} \right]} dx$ $ = \left[ { - \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array} = \frac{1}{8}} \right.$

Ví dụ 9: Tính tích phân: I = $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}dx} $
Giải
Đặt: x - 1 = t, suy ra: x = t + 1 và: khi x = -1 thì t = -2 và khi x = 0 thì t = -1.
Do đó: $\int\limits_{ - 1}^0 {\frac{{{x^4}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^4}}}{{{t^3}}}dt} $ $ = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{{t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1}}{{{t^3}}}dt} $ $ = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {t + 4 + \frac{6}{t} + \frac{4}{{{t^2}}} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)dt} $
$ \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {t + 4 + \frac{6}{t} + \frac{4}{{{t^2}}} + \frac{1}{{{t^3}}}} \right)dt} $
$ = \left( {\frac{1}{2}{t^2} + 4t + 6\ln \left| t \right| - \frac{4}{t} - \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2}}}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}\\
{ - 2}
\end{array}} \right.$ ${ = \frac{{33}}{8} - 6\ln 2}$

2. Đa thức: f(x) = ${\rm{a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm
Có hai cách giải: Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu

Ví dụ 10: Tính tích phân sau: I = $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx} $
Giải
Cách 1. (Phương pháp hệ số bất định)

Ta có: $\frac{1}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $ = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{C}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{A{{\left( {x + 1} \right)}^2} + B\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + C\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số:
$\left\{ \begin{array}{l}
1 = 4A\\
1 = - 2C
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{4}\\
C = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
Khi đó (1) $ \Leftrightarrow \frac{{\left( {A + B} \right){x^2} + \left( {2A + C} \right)x + A - B - C}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $ \Rightarrow A - B - C = 1 \Leftrightarrow B = A - C - 1$ $ = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{4}$
Do đó: $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} $ $ = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{4}.\frac{1}{{x - 1}} + \frac{1}{4}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{2}\frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \theta $
$ \Leftrightarrow I = $
$\left[ {\frac{1}{4}\ln \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \frac{1}{2}.\frac{1}{{\left( {x + 1} \right)}}} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
3\\
2
\end{array}} \right.$ ${ = \frac{1}{4}\ln 8 = \frac{3}{4}\ln 2}$
Cách 2:
Đặt: t = x + 1, suy ra: x = t - 1 và khi x = 2 thì t = 3; khi x = 3 thì t = 4.
Khi đó: I = $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} $ $ = \int\limits_3^4 {\frac{{dt}}{{{t^2}\left( {t - 2} \right)}} = \frac{1}{2}\int\limits_3^4 {\frac{{t - \left( {t - 2} \right)}}{{{t^2}\left( {t - 2} \right)}}dt} } $ ${ = \frac{1}{2}\left( {\int\limits_2^4 {\frac{1}{{t\left( {t - 2} \right)}}dt - \int\limits_3^4 {\frac{1}{t}dt} } } \right)}$
$ \Leftrightarrow I = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\int\limits_2^4 {\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{1}{t}} \right)dt - \int\limits_3^4 {\frac{1}{t}dt} } } \right)$ $ = \left( {\frac{1}{4}\ln \left| {\frac{{t - 2}}{t}} \right| - \frac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
3
\end{array} = } \right.\frac{3}{4}\ln 2$
Hoặc: $\frac{1}{{{t^3} - 2{t^2}}}$ $ = \frac{{\left( {3{t^2} - 4t} \right)}}{{{t^3} - 2{t^2}}} - \frac{1}{4}\left( {\frac{{3{t^2} - 4t - 4}}{{{t^3} - 2{t^2}}}} \right)$ $ = \left[ {\frac{{3{t^2} - 4t}}{{{t^3} - 2{t^2}}} - \frac{1}{4}\frac{{\left( {3t + 2} \right)}}{{{t^2}}}} \right]$ $ = \frac{{3{t^2} - 4t}}{{{t^3} - 2{t^2}}} - \frac{1}{4}\left( {\frac{3}{t} + \frac{2}{{{t^2}}}} \right)$
Do đó: I = $\int\limits_3^4 {\left( {\frac{{3{t^2} - 4t}}{{{t^3} - 2{t^2}}} - \frac{1}{4}\left( {\frac{3}{t} + \frac{2}{{{t^2}}}} \right)} \right)dt} $ ${ = \left( {\ln \left| {{t^3} - 2{t^2}} \right| - \frac{1}{4}\left( {3\ln \left| t \right| - \frac{2}{t}} \right)} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
3
\end{array} = } \right.}$ $\frac{3}{4}\ln 2$
Hoặc: $\frac{1}{{{t^2}\left( {t - 2} \right)}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{{t^2} - \left( {{t^2} - 4} \right)}}{{{t^2}\left( {t - 2} \right)}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{{t + 2}}{{{t^2}}}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{1}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}} \right)$
Do đó: $\frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{1}{t} - \frac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} $ ${ = \frac{1}{4}\left( {\ln \left| {\frac{{t - 2}}{t}} \right| + \frac{2}{t}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4\\
3
\end{array}} \right.}$ $ = \frac{1}{4}\left( {\ln \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \ln \frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right)$ $ = \frac{1}{4}\left( {\ln 3 - \ln 2 - \frac{1}{6}} \right)$

Ví dụ 11: Tính tích phân sau: I = $\int\limits_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} $
Đặt: x - 1 = t, suy ra: x = t + 1, dx = dt và: khi x = 2 thì t = 1; x = 3 thì t = 2.
Do đó: $\int\limits_2^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}}dx} $ $ = \int\limits_1^2 {\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}dt} = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}dt} $
Cách 1: (Hệ số bất định)
Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}} = \frac{{At + B}}{{{t^2}}} + \frac{C}{{t + 3}}$ $ = \frac{{\left( {At + B} \right)\left( {t + 3} \right) + C{t^2}}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}$ $ = \frac{{\left( {A + C} \right){t^2} + \left( {3A + B} \right)t + 3B}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}$
Đồng nhất hệ số hai tử số:
$\left\{ \begin{array}{l}
A + C = 1\\
3A + B = 2\\
3B = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B = \frac{1}{3}\\
A = \frac{5}{9}\\
C = \frac{4}{9}
\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}} = \frac{1}{9}\frac{{t + 3}}{{{t^2}}} + \frac{4}{9}\frac{1}{{t + 3}}$
Do đó: $\int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}dt} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right) + \frac{4}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}}} \right)} \right)dt} $ $ = \left( {\frac{1}{9}\left( {\ln \left| t \right| - \frac{3}{t}} \right) + \frac{4}{9}\ln \left| {t + 3} \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array} = } \right.$ $\frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 - \frac{7}{9}\ln 2$
Cách 2:
Ta có: $\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t + 3}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right)$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}} + \frac{3}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}} \right]$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{{{t^2} - \left( {{t^2} - 9} \right)}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}} \right)} \right]$
$ = \frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} - \frac{1}{9}\frac{{t - 3}}{{{t^2}}}$ $ = \frac{1}{3}\left[ {\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\frac{1}{{t + 3}} - \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{t} - \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right]$
Vậy: $\int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} + 2t + 1}}{{{t^2}\left( {t + 3} \right)}}dt} $ $ = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{3}\left( {\frac{{3{t^2} + 6t}}{{{t^3} + 3{t^2}}}} \right) + \frac{1}{9}\left( {\frac{1}{{t + 3}} - \frac{1}{t} + \frac{3}{{{t^2}}}} \right)} \right)dt} $ $ = \left[ {\frac{1}{3}\ln \left| {{t^3} + 3{t^2}} \right| + \frac{1}{{27}}\left( {\ln \left| {\frac{{t + 3}}{t}} \right| - \frac{3}{t}} \right)} \right]\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2\\
1
\end{array}} \right.$
Do đó I = $\frac{{17}}{6} + \frac{4}{9}\ln 5 - \frac{7}{9}\ln 2$
 
Top